martes, 11 de mayo de 2010
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Polinomios
Regla de Ruffini
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Regla de Ruffini
Ya se ha visto la división de polinomios, en general, el apartado enterior. Pero, el caso más importante de la división de polinomios es el que tiene por divisor un binomio del tipo x - a, siendo "a" un número entero; por ejemplo (x - 1), (x + 2), etc.
Además de realizarse la división por el método general expuesto en el apartado anterior, se puede realizar usando la regla de Ruffini.
La regla de Ruffini se utiliza fundamentalmente cuando el polinomio dividendo tiene como única letra (variable) la x y el ya citado divisor (x - a).
Se utilizan los coeficientes del dividendo y el valor de "a", obteniéndose los coeficientes del polinomio cociente y el valor del resto (téngase en cuenta que el resto siempre será un número).
La disposición práctica es la que se muestra en el escena adjunta
Ejemplo 15 .-
(x3 + x2 - x - 1) : (x - 2)
- El cociente es x2 + 3x +5 y el resto es 9
"Si cambias los valores de "a" en la escena podrás observar otras divisiones (por ejemplo que para a = 1 la división es exacta)"
"Se deben colocar todos los coeficientes del dividendo ordenados de mayor a menor grado y si falta el de algún grado intermedio colocar un 0.
Quizás el lector conozca ya la forma de obtener el cociente y el resto. El proceso que se ha seguido es el siguiente:
- Se "baja" el primer coeficiente del dividendo.
- Se multiplica "a" por el coeficiente bajado y se coloca el resultado debajo del segundo coeficiente (el signo de a será positivo si el divisor es del tipo (x-a) y negativo si el divisor es del tipo (x+a).
- Se suma el segundo coeficiente con el resultado anterior.
- Se continúa el proceso hasta terminar con los coeficientes.
Los números de la fila inferior obtenida son los coeficientes del cociente (de un grado menor al dividendo) excepto el último número que es el valor del resto.
Ejercicio 10.- Calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones:(Realiza las divisiones en el cuaderno de trabajo).
a) ( 2x3 + 6x2 - 1 ) : ( x + 3 )
b) ( x4 + 2x3 - x2 + 3x - 5 ) : ( x - 1 )
En la escena se observan los valores de los coeficientes (c1, c2, c3, c4 : 2, 6, 0, -1, y a = -3 para el ejercicio a).
No se puede realizar en esta escena la división b) por estar limitada a polinomios de tercer grado. De todas formas debes obtener de resto 0.
Usar esta escena para realizar otras divisiones de este tipo donde el dividendo sea un polinomio de tercer grado.
Teorema del resto
Como hemos visto en el apartado anterior, mediante la Regla de Ruffini, se obtiene de forma sencilla el cociente y el resto de la división de un polinomio entre el binomio (x - a). También hemos conocido en apartados anteriores lo que es el valor numérico de una expresión algebraica en general y por tanto de un polinomio en particular.
Ejemplo 16.- Calcula el valor numérico de los polinomios dividendo del ejercicio 10 para los valores de x = -3 y x = 1 respectivamente. Compara dicho valor numérico con el resto de las divisiones efectuadas en dicho ejercicio
¿Qué has observado?
En la escena se presenta la división, efectuada por la regla de Ruffini, para polinomios de tercer grado y el valor numérico de los polinomios del dividendo para los valores de "a" correspondientes.
Si se desean ejemplos de polinomios de segundo grado basta con hacer que el primer coeficiente (c1) sea 0.
No podrá utilizarse esta escena para polinomios de grado superior a 3.
El resultado que seguro has observado se puede expresar como el enunciado del:
Teorema del resto:
" El resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x - a), es igual al valor numérico del polinomio cuando x toma el valor "a" que podemos expresar como P(a) "
Ejercicio 11.- Calcula el valor numérico del polinomio x3 + 6x2 - 3x - 4 en los casos:
x = 0 ; x = -2 ; x = 1. Realiza la división del polinomio por el binomio del tipo (x - a) adecuado, comprobando que el resto de la división coincide con el valor numérico calculado antes.
" Utiliza la escena anterior, cambiando adecuadamente los valores de coeficientes y "a" para comprobar los resultados"
Factorización de polinomios
Una aplicación muy importante de la división de polinomios es la factorización de polinomios, y en concreto conseguir factores del tipo (x-a).
Ejemplo 17.- Si se realiza el producto (x-2)•(x+3) se obtiene el polinomio x2 + x - 6, por lo que puede expresarse dicho polinomio como producto de factores: x2 + x - 6 = (x-2 ) • (x+3)
Conseguir, cuando sea posible, expresar un polinomio como producto de binomios de primer grado, en principio del tipo del ejemplo, o al menos algún binomio de ese tipo, es lo que se denomina "factorizar el polinomio".
Para conseguir factores del tipo mencionado (x - a), bastará encontrar valores de "a" para los que la división, que se efectúa por la regla de Ruffini, sea exacta, o sea que el resto sea 0 y aplicar que:
"Dividendo = divisor • cociente + resto" o D = d • c + r, con lo que quedaría D = d • c que en términos de polinomios con la variable x, se puede expresar: D(x) = d(x) • c(x) obteniéndose ya el polinomio dividendo descompuesto en dos factores.
Ejemplo 18.- Dado el polinomio 2x3 + x2 - 5x + 2 , utiliza la escena adjunta para encontrar valores de "a" para los que el valor numérico del polinomio sea 0.
Asigna a los coeficientes los valores adecuados.
Habrás podido observar que en todos los casos en los que el valor numérico ha sido 0, la división del polinomio por "x - a" es exacta (teorema del resto).
Si has probado bien, habrás encontrado que el valor numérico era 0 para x = 1 (a = 1) y para x = -2 . ¿cuál es el cociente para a = 1?
Utiliza de nuevo la escena con los coeficientes del cociente obtenido cuando a = 1: 2x2 +3x - 2 (observa que al ser un polinomio de segundo grado puedes tomar como primer coeficiente c1 = 0). Ahora para a = -2. Encontrarás el nuevo cociente que ya será un polinomio de primer grado (2x - 1). Por tanto el polinomio factorizado será:
2x3 + x2 - 5x + 2 = (x - 1) (x + 2) ( 2x - 1)
Ejercicio 12.- Expresar como producto de factores el polinomio: x4 - 4x3 + x2 + 6x
Para poder utilizar la escena anterior ,téngase en cuenta que en este caso un factor es evidentemente x: "factor común", y después ya se obtiene un polinomio de tercer grado.
Una regla muy útil: Los valores de "x = a" enteros, para los que el valor numérico de un polinomio es cero, son siempre divisores del término independiente del polinomio.
Con esta regla es más fácil buscar los valores de "a". Así en el ejemplo 18 sólo pueden ser 1, -1, 2 y -2.
Puedes volver a la última escena y realizar todas las pruebas que desees para comprobar esta regla.
Aplicaciones y ejercicios finales
Resolución de ecuaciones de grado 2 o superior.
Ejemplo 19.- En el apartado anterior hemos visto que el polinomio seguiente se factoriza:
2x3 + x2 - 5x + 2 = (x - 1) (x + 2) ( 2x - 1)
También hemos visto que el valor numérico de dicho polinomio para x = 1 y x = -2 es 0 por tanto si escribimos la ecuación:
2x3 + x2 - 5x + 2 = 0, sabemos que dos soluciones de la misma son x = 1 y x = -2.
Estos valores de x se llaman "raices del polinomio", que son por tanto soluciones de la ecuación P(x) = 0.
Además de la ecuación: 2x3 + x2 - 5x + 2 = (x - 1) (x + 2) ( 2x - 1) = 0 se obtiene, además de las dos soluciones anteriores la solución 2x - 1 = 0 ; x = 1/2 = 0.5.
En la escena se observa la ecuación resuelta gráficamente, así como la regla de Ruffini aplicada para la solución
x = 0.5.
Pueden comprobarse también las otras dos soluciones.
(Se recomienda ver el tema de ecuaciones de primero de bachillerato se se desean ampliar los conocimientos y practicar sobre la resolución de ecuaciones de grado superior a dos).
Resumen: Dado un polinomio P(x) las siguientes afirmaciones son equivalentes:
- El valor numérico para x = a es 0 o sea P(a) = 0
- La división del polinomio P(x) entre el binomio (x - a) es exacta
- (x - a) es un factor del polinomio: P(x) = (x - a) C(x), siendo C (x) el cociente de P(x) : (x-a)
- La ecuación P(x) = 0 tiene una solución para x = a.
Ejercicio 13.- Factorizar los siguientes polinomios comprobando las cuatro afirmaciones anteriores,
(Puede utilizarse la escena anterior como ayuda)
a) x3 + 2x2 - x - 2
b) x4 - 1
c) x4 + 10x3 + 35x2 - 50x + 24 (Una raíz es x = 4)
Regla de Ruffini
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Regla de Ruffini
Ya se ha visto la división de polinomios, en general, el apartado enterior. Pero, el caso más importante de la división de polinomios es el que tiene por divisor un binomio del tipo x - a, siendo "a" un número entero; por ejemplo (x - 1), (x + 2), etc.
Además de realizarse la división por el método general expuesto en el apartado anterior, se puede realizar usando la regla de Ruffini.
La regla de Ruffini se utiliza fundamentalmente cuando el polinomio dividendo tiene como única letra (variable) la x y el ya citado divisor (x - a).
Se utilizan los coeficientes del dividendo y el valor de "a", obteniéndose los coeficientes del polinomio cociente y el valor del resto (téngase en cuenta que el resto siempre será un número).
La disposición práctica es la que se muestra en el escena adjunta
Ejemplo 15 .-
(x3 + x2 - x - 1) : (x - 2)
- El cociente es x2 + 3x +5 y el resto es 9
"Si cambias los valores de "a" en la escena podrás observar otras divisiones (por ejemplo que para a = 1 la división es exacta)"
"Se deben colocar todos los coeficientes del dividendo ordenados de mayor a menor grado y si falta el de algún grado intermedio colocar un 0.
Quizás el lector conozca ya la forma de obtener el cociente y el resto. El proceso que se ha seguido es el siguiente:
- Se "baja" el primer coeficiente del dividendo.
- Se multiplica "a" por el coeficiente bajado y se coloca el resultado debajo del segundo coeficiente (el signo de a será positivo si el divisor es del tipo (x-a) y negativo si el divisor es del tipo (x+a).
- Se suma el segundo coeficiente con el resultado anterior.
- Se continúa el proceso hasta terminar con los coeficientes.
Los números de la fila inferior obtenida son los coeficientes del cociente (de un grado menor al dividendo) excepto el último número que es el valor del resto.
Ejercicio 10.- Calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones:(Realiza las divisiones en el cuaderno de trabajo).
a) ( 2x3 + 6x2 - 1 ) : ( x + 3 )
b) ( x4 + 2x3 - x2 + 3x - 5 ) : ( x - 1 )
En la escena se observan los valores de los coeficientes (c1, c2, c3, c4 : 2, 6, 0, -1, y a = -3 para el ejercicio a).
No se puede realizar en esta escena la división b) por estar limitada a polinomios de tercer grado. De todas formas debes obtener de resto 0.
Usar esta escena para realizar otras divisiones de este tipo donde el dividendo sea un polinomio de tercer grado.
Teorema del resto
Como hemos visto en el apartado anterior, mediante la Regla de Ruffini, se obtiene de forma sencilla el cociente y el resto de la división de un polinomio entre el binomio (x - a). También hemos conocido en apartados anteriores lo que es el valor numérico de una expresión algebraica en general y por tanto de un polinomio en particular.
Ejemplo 16.- Calcula el valor numérico de los polinomios dividendo del ejercicio 10 para los valores de x = -3 y x = 1 respectivamente. Compara dicho valor numérico con el resto de las divisiones efectuadas en dicho ejercicio
¿Qué has observado?
En la escena se presenta la división, efectuada por la regla de Ruffini, para polinomios de tercer grado y el valor numérico de los polinomios del dividendo para los valores de "a" correspondientes.
Si se desean ejemplos de polinomios de segundo grado basta con hacer que el primer coeficiente (c1) sea 0.
No podrá utilizarse esta escena para polinomios de grado superior a 3.
El resultado que seguro has observado se puede expresar como el enunciado del:
Teorema del resto:
" El resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x - a), es igual al valor numérico del polinomio cuando x toma el valor "a" que podemos expresar como P(a) "
Ejercicio 11.- Calcula el valor numérico del polinomio x3 + 6x2 - 3x - 4 en los casos:
x = 0 ; x = -2 ; x = 1. Realiza la división del polinomio por el binomio del tipo (x - a) adecuado, comprobando que el resto de la división coincide con el valor numérico calculado antes.
" Utiliza la escena anterior, cambiando adecuadamente los valores de coeficientes y "a" para comprobar los resultados"
Factorización de polinomios
Una aplicación muy importante de la división de polinomios es la factorización de polinomios, y en concreto conseguir factores del tipo (x-a).
Ejemplo 17.- Si se realiza el producto (x-2)•(x+3) se obtiene el polinomio x2 + x - 6, por lo que puede expresarse dicho polinomio como producto de factores: x2 + x - 6 = (x-2 ) • (x+3)
Conseguir, cuando sea posible, expresar un polinomio como producto de binomios de primer grado, en principio del tipo del ejemplo, o al menos algún binomio de ese tipo, es lo que se denomina "factorizar el polinomio".
Para conseguir factores del tipo mencionado (x - a), bastará encontrar valores de "a" para los que la división, que se efectúa por la regla de Ruffini, sea exacta, o sea que el resto sea 0 y aplicar que:
"Dividendo = divisor • cociente + resto" o D = d • c + r, con lo que quedaría D = d • c que en términos de polinomios con la variable x, se puede expresar: D(x) = d(x) • c(x) obteniéndose ya el polinomio dividendo descompuesto en dos factores.
Ejemplo 18.- Dado el polinomio 2x3 + x2 - 5x + 2 , utiliza la escena adjunta para encontrar valores de "a" para los que el valor numérico del polinomio sea 0.
Asigna a los coeficientes los valores adecuados.
Habrás podido observar que en todos los casos en los que el valor numérico ha sido 0, la división del polinomio por "x - a" es exacta (teorema del resto).
Si has probado bien, habrás encontrado que el valor numérico era 0 para x = 1 (a = 1) y para x = -2 . ¿cuál es el cociente para a = 1?
Utiliza de nuevo la escena con los coeficientes del cociente obtenido cuando a = 1: 2x2 +3x - 2 (observa que al ser un polinomio de segundo grado puedes tomar como primer coeficiente c1 = 0). Ahora para a = -2. Encontrarás el nuevo cociente que ya será un polinomio de primer grado (2x - 1). Por tanto el polinomio factorizado será:
2x3 + x2 - 5x + 2 = (x - 1) (x + 2) ( 2x - 1)
Ejercicio 12.- Expresar como producto de factores el polinomio: x4 - 4x3 + x2 + 6x
Para poder utilizar la escena anterior ,téngase en cuenta que en este caso un factor es evidentemente x: "factor común", y después ya se obtiene un polinomio de tercer grado.
Una regla muy útil: Los valores de "x = a" enteros, para los que el valor numérico de un polinomio es cero, son siempre divisores del término independiente del polinomio.
Con esta regla es más fácil buscar los valores de "a". Así en el ejemplo 18 sólo pueden ser 1, -1, 2 y -2.
Puedes volver a la última escena y realizar todas las pruebas que desees para comprobar esta regla.
Aplicaciones y ejercicios finales
Resolución de ecuaciones de grado 2 o superior.
Ejemplo 19.- En el apartado anterior hemos visto que el polinomio seguiente se factoriza:
2x3 + x2 - 5x + 2 = (x - 1) (x + 2) ( 2x - 1)
También hemos visto que el valor numérico de dicho polinomio para x = 1 y x = -2 es 0 por tanto si escribimos la ecuación:
2x3 + x2 - 5x + 2 = 0, sabemos que dos soluciones de la misma son x = 1 y x = -2.
Estos valores de x se llaman "raices del polinomio", que son por tanto soluciones de la ecuación P(x) = 0.
Además de la ecuación: 2x3 + x2 - 5x + 2 = (x - 1) (x + 2) ( 2x - 1) = 0 se obtiene, además de las dos soluciones anteriores la solución 2x - 1 = 0 ; x = 1/2 = 0.5.
En la escena se observa la ecuación resuelta gráficamente, así como la regla de Ruffini aplicada para la solución
x = 0.5.
Pueden comprobarse también las otras dos soluciones.
(Se recomienda ver el tema de ecuaciones de primero de bachillerato se se desean ampliar los conocimientos y practicar sobre la resolución de ecuaciones de grado superior a dos).
Resumen: Dado un polinomio P(x) las siguientes afirmaciones son equivalentes:
- El valor numérico para x = a es 0 o sea P(a) = 0
- La división del polinomio P(x) entre el binomio (x - a) es exacta
- (x - a) es un factor del polinomio: P(x) = (x - a) C(x), siendo C (x) el cociente de P(x) : (x-a)
- La ecuación P(x) = 0 tiene una solución para x = a.
Ejercicio 13.- Factorizar los siguientes polinomios comprobando las cuatro afirmaciones anteriores,
(Puede utilizarse la escena anterior como ayuda)
a) x3 + 2x2 - x - 2
b) x4 - 1
c) x4 + 10x3 + 35x2 - 50x + 24 (Una raíz es x = 4)
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